Math::Complex - 复数及相关数学函数
use Math::Complex;
$z = Math::Complex->make(5, 6);
$t = 4 - 3*i + $z;
$j = cplxe(1, 2*pi/3);此程序包允许您创建和处理复数。默认情况下，Perl 仅限于实数，但额外的 use 语句带来了完全的复数支持，以及一组通常与复数相关和/或扩展到复数的完整数学函数。
如果您想知道复数是什么，它们被发明出来是为了能够解决以下方程式
x*x = -1根据定义，解记为i（工程师使用j，因为i通常表示强度，但名称无关紧要）。数字i是一个纯虚数。
纯虚数的算术就像您对实数所期望的那样...您只需要记住
i*i = -1因此您有
5i + 7i = i * (5 + 7) = 12i
4i - 3i = i * (4 - 3) = i
4i * 2i = -8
6i / 2i = 3
1 / i = -i复数是既有实部又有虚部的数，通常记为
a + bi其中a是实部，b是虚部。复数的算术很简单。你必须跟踪实部和虚部，但除此之外，用于实数的规则也适用
(4 + 3i) + (5 - 2i) = (4 + 5) + i(3 - 2) = 9 + i
(2 + i) * (4 - i) = 2*4 + 4i -2i -i*i = 8 + 2i + 1 = 9 + 2i复数的图形表示可以在一个平面上（也称为复平面，但它实际上是一个 2D 平面）。数字
z = a + bi是坐标为 (a, b) 的点。实际上，它将是从 (0, 0) 到 (a, b) 的向量。由此得出，两个复数的加法是一个向量加法。
由于 2D 平面中的点和复数之间存在双射（即映射是唯一的和可逆的），因此复数也可以用极坐标唯一地标识
[rho, theta]其中rho是到原点的距离，theta是向量和x轴之间的角度。使用指数形式对此有一个表示法，即
rho * exp(i * theta)其中i是上面介绍的著名的虚数。此形式和笛卡尔形式a + bi之间的转换是立即的
a = rho * cos(theta)
b = rho * sin(theta)也可以用此公式表示
z = rho * exp(i * theta) = rho * (cos theta + i * sin theta)换句话说，它是向量在x和y轴上的投影。数学家称rho为范数或模，称theta为复数的幅角。z的范数在此标记为abs(z)。
极坐标表示法（也称为三角表示法）对于执行复数的乘法和除法非常方便，而笛卡尔表示法更适合加法和减法。实数在x轴上，因此y或theta为零或pi。
可以在实数上执行的所有常见操作都被定义为也可以对复数执行，并且仅仅是对实数上定义的操作的扩展。这意味着当没有虚部时，它们会保持其自然含义，前提是该数字在其定义集中。
例如，计算其参数的平方根的 sqrt 例程仅针对非负实数定义，并产生非负实数（它是从 R+ 到 R+ 的应用）。如果我们允许它返回一个复数，那么它可以扩展到负实数，成为从 R 到 C（复数集）的应用
sqrt(x) = x >= 0 ? sqrt(x) : sqrt(-x)*i它还可以扩展为从 C 到 C 的应用，而它对 R 的限制通过使用以下定义表现为如上所定义
sqrt(z = [r,t]) = sqrt(r) * exp(i * t/2)事实上，一个负实数可以记为 [x,pi]（模数 x 始终是非负的，所以 [x,pi] 实际上是 -x，一个负数），而上述定义说明
sqrt([x,pi]) = sqrt(x) * exp(i*pi/2) = [sqrt(x),pi/2] = sqrt(x)*i这正是我们上面为负实数定义的内容。sqrt 只返回一个解：如果你想要两个解，请使用 root 函数。
所有定义在实数上的常见数学函数都扩展到了复数，它们共享在虚部为零时以照常方式工作的相同属性（否则，它不会被称为扩展，是吗？）。
在复数上可能的一个新操作是实数的恒等式，称为共轭，并在此处用数字上方的水平线或 ~z 表示。
z = a + bi
~z = a - bi简单... 现在看
z * ~z = (a + bi) * (a - bi) = a*a + b*b我们看到 z 的范数记为 abs(z)，并定义为到原点的距离，也称为
rho = abs(z) = sqrt(a*a + b*b)所以
z * ~z = abs(z) ** 2如果 z 是一个纯实数（即 b == 0），则上述产生
a * a = abs(a) ** 2这是正确的（abs 对实数有常规含义，即表示绝对值）。此示例解释了为什么 z 的范数记为 abs(z)：它将 abs 函数扩展到复数，但当复数实际上没有虚部时，它是我们知道的常规 abs... 这事后证明了我们对范数使用 abs 符号的合理性。
给定以下符号
z1 = a + bi = r1 * exp(i * t1)
z2 = c + di = r2 * exp(i * t2)
z = <any complex or real number>以下（重载）操作支持复数
z1 + z2 = (a + c) + i(b + d)
z1 - z2 = (a - c) + i(b - d)
z1 * z2 = (r1 * r2) * exp(i * (t1 + t2))
z1 / z2 = (r1 / r2) * exp(i * (t1 - t2))
z1 ** z2 = exp(z2 * log z1)
~z = a - bi
abs(z) = r1 = sqrt(a*a + b*b)
sqrt(z) = sqrt(r1) * exp(i * t/2)
exp(z) = exp(a) * exp(i * b)
log(z) = log(r1) + i*t
sin(z) = 1/2i (exp(i * z1) - exp(-i * z))
cos(z) = 1/2 (exp(i * z1) + exp(-i * z))
atan2(y, x) = atan(y / x) # Minding the right quadrant, note the order.atan2() 的复数参数所用的定义是
-i log((x + iy)/sqrt(x*x+y*y))请注意，atan2(0, 0) 未定义。
以下额外操作支持实数和复数
Re(z) = a
Im(z) = b
arg(z) = t
abs(z) = r
cbrt(z) = z ** (1/3)
log10(z) = log(z) / log(10)
logn(z, n) = log(z) / log(n)
tan(z) = sin(z) / cos(z)
csc(z) = 1 / sin(z)
sec(z) = 1 / cos(z)
cot(z) = 1 / tan(z)
asin(z) = -i * log(i*z + sqrt(1-z*z))
acos(z) = -i * log(z + i*sqrt(1-z*z))
atan(z) = i/2 * log((i+z) / (i-z))
acsc(z) = asin(1 / z)
asec(z) = acos(1 / z)
acot(z) = atan(1 / z) = -i/2 * log((i+z) / (z-i))
sinh(z) = 1/2 (exp(z) - exp(-z))
cosh(z) = 1/2 (exp(z) + exp(-z))
tanh(z) = sinh(z) / cosh(z) = (exp(z) - exp(-z)) / (exp(z) + exp(-z))
csch(z) = 1 / sinh(z)
sech(z) = 1 / cosh(z)
coth(z) = 1 / tanh(z)
asinh(z) = log(z + sqrt(z*z+1))
acosh(z) = log(z + sqrt(z*z-1))
atanh(z) = 1/2 * log((1+z) / (1-z))
acsch(z) = asinh(1 / z)
asech(z) = acosh(1 / z)
acoth(z) = atanh(1 / z) = 1/2 * log((1+z) / (z-1))arg、abs、log、csc、cot、acsc、acot、csch、coth、acosech、acotanh 分别有别名 rho、theta、ln、cosec、cotan、acosec、acotan、cosech、cotanh、acosech、acotanh。Re、Im、arg、abs、rho 和 theta 也可用作变异器。cbrt 仅返回一个解：如果您想要全部三个解，请使用 root 函数。
root 函数可用于计算某个复数的所有 n 个根，其中 n 是一个严格的正整数。有恰好 n 个这样的根，以列表形式返回。获取数学家称之为 j 的数字，使得
1 + j + j*j = 0;只需编写
$j = (root(1, 3))[1];z = [r,t] 的第 k 个根由下式给出
(root(z, n))[k] = r**(1/n) * exp(i * (t + 2*k*pi)/n)您可以通过 root(z, n, k) 直接返回第 k 个根，索引从 零 开始，以 n - 1 结束。
还定义了 spaceship 数字比较运算符 <=>。为了确保其对实数的限制符合您的预期，比较首先在复数的实部上运行，并且仅当实部匹配时才比较虚部。
要创建复数，请使用
$z = Math::Complex->make(3, 4);
$z = cplx(3, 4);如果您知道该数字的笛卡尔形式，或
$z = 3 + 4*i;如果您愿意。要使用极坐标形式创建数字，请使用
$z = Math::Complex->emake(5, pi/3);
$x = cplxe(5, pi/3);代替。第一个参数是模数，第二个参数是角度（以弧度为单位，整圆是 2*pi）。（助记符：e 用作极坐标形式中复数的符号。）
可以写
$x = cplxe(-3, pi/4);但它将被静默转换为 [3,-3pi/4]，因为模数必须是非负的（它表示复平面上到原点的距离）。
还可以将复数作为 make、emake、cplx 和 cplxe 的任一参数：将使用参数的适当分量。
$z1 = cplx(-2, 1);
$z2 = cplx($z1, 4);new、make、emake、cplx 和 cplxe 还将理解形式为
2-3i
-3i
[2,3]
[2,-3pi/4]
[2]在这种情况下，将从字符串中解析出适当的笛卡尔和指数分量，并用于创建新的复数。虚部和 theta 分别默认为零。
new、make、emake、cplx 和 cplxe 也将理解无参数的情况：这意味着纯零或 (0, 0)。
打印时，复数通常以其笛卡尔样式 a+bi 显示，但在极坐标样式 [r,t] 更合适的情况下，这是合理的。将复数转换为可显示的字符串的过程称为字符串化。
通过调用类方法 Math::Complex::display_format 并提供 "polar" 或 "cartesian" 作为参数，可以覆盖默认显示样式，该样式为 "cartesian"。不提供任何参数将返回当前设置。
可以通过调用 display_format 方法按每个数字覆盖此默认设置。与之前一样，不提供任何参数将返回此数字的当前显示样式。否则，您指定的任何内容都将成为此特定数字的新显示样式。
例如
use Math::Complex;
Math::Complex::display_format('polar');
$j = (root(1, 3))[1];
print "j = $j\n"; # Prints "j = [1,2pi/3]"
$j->display_format('cartesian');
print "j = $j\n"; # Prints "j = -0.5+0.866025403784439i"极坐标样式尝试强调诸如 k*pi/n（其中 n 是正整数，k 是 [-9, +9] 内的整数）之类的参数，这称为极坐标漂亮打印。
有关字符串化的反向操作，请参阅 make 和 emake。
现在可以使用参数哈希而不是仅仅一个参数来调用 display_format 类方法和相应的 display_format 对象方法。
可以使用 "style" 参数更改旧的显示格式样式，该样式可以具有值 "cartesian" 或 "polar"。
$j->display_format(style => "polar");一个参数的调用约定仍然有效。
$j->display_format("polar");有两个新的显示参数。
第一个是 "format"，它是一个 sprintf()-style 格式字符串，用于复数的两个数字部分。这在某种程度上取决于系统，但通常对应于 "%.15g"。您可以通过将 format 设置为 undef 来恢复为默认值。
# the $j from the above example
$j->display_format('format' => '%.5f');
print "j = $j\n"; # Prints "j = -0.50000+0.86603i"
$j->display_format('format' => undef);
print "j = $j\n"; # Prints "j = -0.5+0.86603i"请注意，这也影响到 display_format 方法的返回值：在列表上下文中，将返回整个参数哈希，而不仅仅是样式参数值。如果您在列表上下文中调用 display_format 方法，则这与早期版本存在潜在的不兼容性。
第二个新的显示参数是 "polar_pretty_print"，可以将其设置为 true 或 false，默认值为 true。有关其含义，请参见上一部分。
由于重载，对复数进行算术处理非常简单，几乎是透明的。
以下是一些示例
use Math::Complex;
$j = cplxe(1, 2*pi/3); # $j ** 3 == 1
print "j = $j, j**3 = ", $j ** 3, "\n";
print "1 + j + j**2 = ", 1 + $j + $j**2, "\n";
$z = -16 + 0*i; # Force it to be a complex
print "sqrt($z) = ", sqrt($z), "\n";
$k = exp(i * 2*pi/3);
print "$j - $k = ", $j - $k, "\n";
$z->Re(3); # Re, Im, arg, abs,
$j->arg(2); # (the last two aka rho, theta)
# can be used also as mutators.如果单独导出，常量 pi 及其一些方便的倍数（pi2、pi4 和 pip2（pi/2）和 pip4（pi/4））也可用
use Math::Complex ':pi';
$third_of_circle = pi2 / 3;浮点无穷大可以导出为子例程 Inf()
use Math::Complex qw(Inf sinh);
my $AlsoInf = Inf() + 42;
my $AnotherInf = sinh(1e42);
print "$AlsoInf is $AnotherInf\n" if $AlsoInf == $AnotherInf;请注意，无穷大的字符串化形式在不同平台之间有所不同：例如，它可以是以下任何一个
inf
infinity
INF
1.#INF或者它可以是其他内容。
还要注意，在某些平台上，尝试在算术运算中使用无穷大可能会导致 Perl 崩溃，因为使用无穷大会导致发送 SIGFPE 或其道德等价物。忽略此问题的方法是
local $SIG{FPE} = sub { };除法 (/) 和以下函数
log ln log10 logn
tan sec csc cot
atan asec acsc acot
tanh sech csch coth
atanh asech acsch acoth无法针对所有参数计算，因为这意味着除以零或取零的对数。这些情况会导致类似以下内容的致命运行时错误
cot(0): Division by zero.
(Because in the definition of cot(0), the divisor sin(0) is 0)
Died at ...或
atanh(-1): Logarithm of zero.
Died at...对于 csc、cot、asec、acsc、acot、csch、coth、asech、acsch，参数不能为 0（零）。对于对数函数和 atanh、acoth，参数不能为 1（一）。对于 atanh、acoth，参数不能为 -1（负一）。对于 atan、acot，参数不能为 i（虚数单位）。对于 atan、acoth，参数不能为 -i（负虚数单位）。对于 tan、sec、tanh，参数不能为 pi/2 + k * pi，其中 k 是任意整数。atan2(0, 0) 未定义，如果将复数参数用于 atan2()，当 z1**2+z2**2 == 0 时，将发生除以零的情况。
请注意，由于我们对实数近似值进行操作，因此当仅仅“非常接近”上述奇点时，可能会发生这些错误。
make 和 emake 接受实数和复数参数。当它们无法识别参数时，它们将终止并显示以下错误消息
Math::Complex::make: Cannot take real part of ...
Math::Complex::make: Cannot take real part of ...
Math::Complex::emake: Cannot take rho of ...
Math::Complex::emake: Cannot take theta of ...声明 use Math::Complex; 会在调用者环境中导出许多数学例程，甚至会覆盖一些例程（sqrt、log、atan2）。实际上，作者认为这是一个特性... ;-)
所有例程都希望给定实数或复数。不要尝试使用 BigFloat，因为 Perl 目前没有规则来消除两个重载实体之间的“+”操作（例如）。
在 Cray UNICOS 中，存在一些奇怪的数值不稳定性，导致 root()、cos()、sin()、cosh()、sinh() 快速丢失精度。请注意。该错误可能存在于 UNICOS 数学库、UNICOS C 编译器、Math::Complex 中。无论如何，它不会在 Perl 运行的任何其他地方表现出来。
Daniel S. Lewart <lewart!at!uiuc.edu>、Jarkko Hietaniemi <jhi!at!iki.fi>、Raphael Manfredi <Raphael_Manfredi!at!pobox.com>、Zefram <[email protected]>
此库是免费软件；您可以在与 Perl 本身相同的条款下重新分发和/或修改它。